Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[-2，0]时，f（x）=（12）x-1，

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[-2，0]时，f（x）=（12）x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-loga（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围为（　　）A．a＜223或a＞2B．223＜a＜2C．a＜2D．a＞223

Answer 1

设x∈[0，2]，则-x∈[-2，0]，∴f（-x）=(

1

2

)?x?1=2^x-1，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（-x）=2^x-1．
∵对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），
∴当x∈[2，4]时，（x-4）∈[-2，0]，∴f（x）=f（x-4）=(

1

2

)x?4?1；
及当x∈[4，6]时，（x-4）∈[0，2]，∴f（x）=f（x-4）=2^x-4-1．
∵若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，
∴函数y=f（x）与函数y=log_a（x+2）在区间（-2，6]上恰有三个交点，
通过画图可知：恰有三个交点的条件是

loga(6+2)＞3 loga(2+2)＜3

解得2

2

3

＜a＜2．
因此所求的a的取值范围为2

2

3

＜a＜2．
故选B．