Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（2+x）=-f（x），且当x∈[0，1]时f（x）=-x2+1，则

已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（2+x）=-f（x），且当x∈[0，1]时f（x）=-x2+1，则方程f（x）=k，k∈[0，1）在[-1，5]的所有实根之和为（　　）A．0B．2C．4D．8

Answer 1

∵对任意的x∈R，都有f（2+x）=-f（x），
∴f（4+x）=f（x），
故f（x）是周期为4的周期函数．
∵函数f（x）是偶函数，
∴当x∈[-1，0]时，f（x）=-x²+1，
即x∈[-1，1]时，f（x）=-x²+1，对称轴为x=0，
当1≤x≤3时，-1≤x-2≤1，
∵f（2+x）=-f（x），
∴f（x）=-f（x-2），
此时f（x）=-f（x-2）=-[-（x-2）²+1]=（x-2）²-1．当3≤x≤5时，-1≤x-4≤1，
此时f（x）=f（x-4）=-（x-4）²+1．
作出函数f（x）在[-1，5]的图象如图：
由图象可知当1≤x≤3时，对称轴为x=2，
当3≤x≤5时，对称轴为x=4，
则当k∈[0，1），函数f（x）与y=k，有4个交点，
它们分别关于x=0，x=4对称，
设对称的交点的横坐标分别为x₁，x₂，x₅，x₆，
则x₁+x₂=0，x₅+x₆=2×4=8，
∴方程f（x）=k，k∈[0，1）在[-1，5]的所有实根之和为0+8=8，
故选：D