Question

（2013?徐州模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥CD，PA=AD，M

（2013?徐州模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥CD，PA=AD，M，Q分别是PD，BC的中点．（1）求证：MQ∥平面PAB；（2）若AN⊥PC，垂足为N，求证：MN⊥PD．

Answer 1

（1）取PA的中点E，连结EM、BE，
∵M是PD的中点，∴ME∥AD且ME=

1

2

AD，
又∵Q是BC中点，∴BQ=

1

2

BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD且BC=AD，可得BQ∥ME且BQ=ME，
∴四边形MQBE是平行四边形，可得MQ∥BE，…（4分）
∵BE?平面PAB，MQ?平面PAB，
∴MQ∥平面PAB；…（6分）
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵AC⊥CD，PA、AC是平面PAC内的相交直线，
∴CD⊥平面PAC，结合AN?平面PAC，得AN⊥CD． …（9分）
又∵AN⊥PC，PC、CD是平面PCD内的相交直线，
∴AN⊥平面PCD，结合PD?平面PCD，可得AN⊥PD，…（12分）
∵PA=AD，M是PD的中点，∴AM⊥PD，…（13分）
又∵AM、AN是平面AMN内的相交直线，∴PD⊥平面AMN，
∵MN?平面AMN，∴MN⊥PD．…（14分）