Question

（2014?温州二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，AB=1，BC=2，∠ABC=4

（2014?温州二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，AB=1，BC=2，∠ABC=45°，点E在PC上，AE⊥PC．（Ⅰ）证明：AE⊥平面PCD；（Ⅱ）当PA=2时，求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

（I）证明：∵AB=1，BC=

2

，∠ABC=45°，
∴AB⊥AC…（2分）
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又∵AC∩AP=A
∴AB⊥平面PAC，又∵AB∥CD
∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥AE…（4分）
又∵AE⊥PC，又∵PC∩CD=C
∴AE⊥平面PCD…（7分）
（II）解：∵AD∥BC，∴即求直线BC与平面ABE所成的角  …（9分）
∵AE⊥平面PCD，∴AE⊥PC
又∵AB⊥AC，且PC在平面ABC上的射影是AC，
∴AB⊥PC，
∴PC⊥平面ABE，
∴∠CBE是直线BC与平面ABE所成的角．…（11分）
∵Rt△PAC中，CE＝

3

3

，
∴Rt△CBE中，sin∠CBE＝

CE

CB

＝

3 3

2

＝

6

6

即直线AD与平面ABE所成角的正弦值为

6

6

．…（14分）