已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，AA1=23，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点
已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，AA1=23，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点．（Ⅰ）...
已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，AA1=23，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD；（Ⅱ）求证：A1O⊥平面ABCD；（Ⅲ）求直线BM与平面BC1D所成角的正弦值．
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解答：
（Ⅰ）证明：连结MO，
∵A1M=MA，AO=OC，
∴MO∥A1C，
∵MO?平面BMD，A1C不包含于平面BMD，
∴A1C∥平面BMD．…（3分）
（Ⅱ）证明：∵BD⊥AA1，BD⊥AC，∴BD⊥面A1AC，
于是BD⊥A1O，AC∩BD=O，
∵AB=CD=2，∠BAD=60°，
∴AO=
AC=
，
又∵AA1=2
，∠A1AC=60°，∴A1O⊥AC，
又∵A1O⊥BD，∴A1O⊥平面ABCD．…（7分）
（Ⅲ）解：如图，以O为原点，以OA为x轴，OB为y轴，OA1为z轴，建立直角坐标系，
由题意知A1(0，0，3)，A(
，0，0)，C（-
，0，0），B（0，1，0），D（0，-1，0），
∵
＝
＝(?2
，0，0)，∴C1＝(?2
，0，3)，
∵M（
，0，
），∴
=（-
，1，-
），
＝(0，2，0)，
=（-2
，-1，3），
设平面BC1D的法向量为
=（x，y，z），
则
（Ⅰ）证明：连结MO，∵A1M=MA，AO=OC，
∴MO∥A1C，
∵MO?平面BMD，A1C不包含于平面BMD，
∴A1C∥平面BMD．…（3分）
（Ⅱ）证明：∵BD⊥AA1，BD⊥AC，∴BD⊥面A1AC，
于是BD⊥A1O，AC∩BD=O，
∵AB=CD=2，∠BAD=60°，
∴AO=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
又∵AA1=2
| 3 |
又∵A1O⊥BD，∴A1O⊥平面ABCD．…（7分）
（Ⅲ）解：如图，以O为原点，以OA为x轴，OB为y轴，OA1为z轴，建立直角坐标系，
由题意知A1(0，0，3)，A(
| 3 |
| 3 |
∵
| A1C1 |
| AC |
| 3 |
| 3 |
∵M（
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| MB |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| DB |
| BC1 |
| 3 |
设平面BC1D的法向量为
| n |
则
|
