Question

已知椭圆E的中心在原点,焦点在X轴上,离心率为2分之根号3且经过点M(4,1)。

已知椭圆E的中心在原点，焦点在X轴上，离心率为2分之根号3且经过点M（4，1）。
1、求椭圆E的方程
2，若三角形ABM是椭圆E的内接三角形，且直线AB的斜率为1，直线MA和直线MB分别与x轴交于C和D，求证，三角形MCD是等腰三角形。

Answer 1

解：（一）e=c/a=(√3)/2.===>e^2=c^2/a^2=3/4,故可设a^2=4t,c^2=3t,(t>0)===>由a^2=b^2+c^2.得b^2=t.故可设椭圆E：(x^2/4t)+(y^2/t)=1.又椭圆过点M(4,1).===>(16/4t)+(1/t)=1.===>t=5.===>椭圆E：(x^2/20)+(y^2/5)=1.(二）可设直线AB：y=x+p.与椭圆方程联立得：5x^2+8px+4(p^2-5)=0.判别式=16（25-25-p^2)>0===>|p|<5.设点A(x1,x1+p),B(x2,x2+p).由韦达定理知，x1+x2=-8p/5,x1x2=4(p^2-5)/5.由点A,M,CC共线可得点C((4p+3x1)/(x1+p-1).0)同理可得点D((3x2+4p)/(x2+p-1),0).由此可知线段CD中点N的横坐标为{[(3x1+4p)/(x1+p-1)]+[(3x2+4p)/(x2+p-1)]}/2=4,即点N（4，0）.易知，MN⊥CD。三线合一知，三角形MCD为等腰三角形。

Answer 2

提示：第二问答案为C2: x^2+y^2=4/5
由此可设点M为M(x0,y0),则切线L的方程为x0x+y0y=4/5...(1)
将(1)与椭圆C1的方程联立后消去y得关于x的
一个二次方程（3），令P,Q坐标分别为P(x1,y1),Q(x2,y2) 则对（3）使用韦达定理得x1x2,x1+x2的表达式，在此基础上结合（1）可得y1y2的表达式
因此得：向量OQ*向量OR=x1x2+y1y2=F(x0,y0) (即一个关于M的坐标的式子） 将x0^2+y0^2=4/5代入F(x0,y0)即得其值为0，证毕。

注意：若要节省最后一步代入（简化计算过程）则开始设点M坐标为M（2*根号5*cost/5, 2*根号5*sint/5) ，即利用圆的参数方程设点(参数为实数t),将上述二元化简转化为一元三角化简.

Answer 3

1. ∵e=2分之根号3 设a=2k c=根号3倍k b=k
则椭圆的方程可表示为 ：x²/4k²+y²/k²=1
将M（4，1）代入得 k²=5
所以椭圆的方程为x²/20+y²/5=1

Answer 4

（一）e=c/a=(√3)/2.===>e^2=c^2/a^2=3/4,故可设a^2=4t,c^2=3t,(t>0)===>由a^2=b^2+c^2.得b^2=t.故可设椭圆E：(x^2/4t)+(y^2/t)=1.又椭圆过点M(4,1).===>(16/4t)+(1/t)=1.===>t=5.===>椭圆E：(x^2/20)+(y^2/5)=1.(二）可设直线AB：y=x+p.与椭圆方程联立得：5x^2+8px+4(p^2-5)=0.判别式=16（25-25-p^2)>0===>|p|