Question

已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C离心率为根号3/2,

点A,B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点。点O到直线AB的距离为五分之六倍根号五。（1）求椭圆C的标准方程（2）已知点E(3,0),设点P，点Q是椭圆C上的两个动点。满足EP⊥EQ，求EP向量·QP向量的取值范围。

Answer 1

AB的方程是x/a+y/b=1

即有bx+ay-ab=0
d=|-ab|/根号(a^2+b^2)=6根号5/5
平方得：a^2b^2/(a^2+b^2)=36/5
e=c/a=根号3/2，c^2/a^2=3/4,(a^2-b^2)/a^2=3/4
即有3a^2=4a^2-4b^2,a^2=4b^2
与上面解得：a^2=36,b^2=9.
故椭圆方程是x^2/36+y^2/9=1
(2)EP*QP=EP*(QE+EP)=EP ·EQ+EP^2=EP²，则取得最小值时EP的长最小，
设P(6cosθ,3sinθ)（参数方程）
则EP²=(6cosθ-3)²+(3sinθ-0)²=27cos²θ-36cosθ+18=27(cos θ
-2/3)^2+6，看作一个二次函数，则cosθ=36/(2*27)=2/3时
取得最小（能取到），得EP*QP=EP²=27*4/9-36*2/3+18=6
当cos θ=-1时，取得最大是81
所以，范围是[6，81]

Answer 2

(1)令椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0），则A(a,0)，B(0,b)
由截距式知直线AB：x/a+y/b=1，即x/a+y/b-1=0
由点到直线距离公式有点O到AB的距离为：
|0+0-1|/√(1/a^2+1/b^2)=6√5/5
即1/a^2+1/b^2=5/36（I）
而e=c/a=√3/2（II）
又a^2=b^2+c^2（III）
由（I）（II）（III）得a=6,b=3,c=3√3
所以椭圆C：x^2/36+y^2/9=1

(2)令P(x1,y1)，Q(x2,y2)
则向量EP=(x1-3,y1)，向量EQ=(x2-3,y2)，向量QP=(x1-x2,y1-y2)
因EP⊥EQ，则向量EP·向量EQ=0，即有：
(x1-3)(x2-3)+y1y2=0（I）
由向量积有向量EP·向量QP=(x1-3)(x1-x2)+y1(y1-y2)
=(x1-3)[(x1-3)-(x2-3)]+y1^2-y1y2
=(x1-3)^2-[(x1-3)(x2-3)+y1y2]+y1^2
=(x1-3)^2+y1^2（结合（I））
又P在椭圆C上，则有x1^2/36+y1^2/9=1，即有y1^2=9-x1^2/4
所以向量EP·向量QP=(x1-3)^2+9-x1^2/4=3/4(x1-4)^2+6
因-6≤x1≤6
则(向量EP·向量QP)min=6（x1=4时取得）
(向量EP·向量QP)max=81（x1=-6时取得）

综上，向量EP·向量QP取值范围为[6,81]