Question

已知三个二元一次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有公共根，求证：a+b+c=0

已知三个二元一次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有公共根，求证：a+b+c=0．

Answer 1

证明：设这三个方程的一个公共根为t．
把x=t代入ax²+bx+c=0，bx²+cx+a=0，cx²+ax+b=0得：
a?t²+bt+c=0，bt²+ct+a=0，ct²+a?t+b=0，
相加得：（a+b+c）t²+（b+c+a）t+（a+b+c）=0，
（a+b+c）（t²+t+1）=0，
∵t²+t+1≠0，
∴a+b+c=0．