Question

已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点．①求证：EF与GH互相平分；②当四边形ABCD

已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点．①求证：EF与GH互相平分；②当四边形ABCD的边满足______ 条件时，EF⊥GH．

Answer 1

解答：解：（1）连接GE、GF、HF、EH．
∵E、G分别是AD、BD的中点，
∴EG=

1

2

CD，
同理FH=

1

2

CD，FG=

1

2

AB，EH=

1

2

AB
∴EG=FH、GF=EH
∴四边形EFGH是平行四边形．
∴EF与GH互相平分；
（2）当EF⊥GH时四边形EFGH是菱形，
此时GF=FH=HE=EG，
∵EG=

1

2

CD，FH=

1

2

CD，FG=

1

2

AB，EH=

1

2

AB
∴AB=BC=CD=DA，
∴当四边形ABCD的边满足条件AB=BC=CD=DA时，EF⊥GH．

Answer 2

解：（1）连接GE、GF、HF、EH．
∵E、G分别是AD、BD的中点，
∴EG=1/2CD，
同理FH=1/2CD，FG=1/2AB，EH=1/2AB
∴EG=FH、GF=EH
∴四边形EFGH是平行四边形．
∴EF与GH互相平分；
（2）当EF⊥GH时四边形EFGH是菱形，
此时GF=FH=HE=EG，
∵EG=1/2 CD，FH=1/2CD，FG=1/2AB，EH=1/2AB
∴AB=BC=CD=DA，
∴当四边形ABCD的边满足条件AB=BC=CD=DA时，EF⊥GH．