Question

几道高中数学题求解，要过程谢谢！

各位好心人啊。。可怜一下做不完作业的小弟吧！！ 祝你们过个开心年！

1，已知向量a=（cosα,sinα）,b=(cosβ,sinβ),且a,b满足│ka+b│=√3│a-kb│(k>0).
(1) 用k表示a与b的数量积。
（2）a与b能否垂直？a与b能否平行？若不能，请说明理由。若能，请求出相应的k值。
（3）求a与b的夹角的最大值。

2，已知α，β均为锐角，且cos（α+β）=12/13,cos(2α+β)=3/5,求cosα的值。

3，设函数f(x)=a·b,其中向量a=（m，cos2x）,b=(1+sin2x,1),x∈R,且y=f(x)的图像经过点（π/4,2）.
(1) 求实数m的值。
（2）求函数f（x）的最小值及此时x值的集合。

4，在△ABC中，
（1）若b=√2，c=1,B=45°,求a及C的值。
（2）若A=60°，a=7,b=5,求边c .

5，某工厂为提高产品质量，扩大再生产，需要大量资金，其中征地需要40万元，新建厂房需要100万元，购置新机器需要60万元，旧机器改造及干部工人培训需15万元，该厂现有资金125万元，但流动资金需40万元。厂内干部30人，工人180人，干部每人投资4000元，工人每人投资1000元（不记利息仅在每年年底利润中分红），若缺少的资金准备在今年年底向银行贷款，按年利率9%的复利计算，若从明年年底开始分5年等额分期付款，还清贷款及全部利息，求该厂每年还贷多少元？

6，用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长，宽，高各为多少时，其体积最大？最大体积为多少？

7，已知双曲线C：x^2/4-y^2=1,P是C上的任意一点。
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数。
（2）设点A的坐标为（3，0），求│PA│的最小值。

Answer 1

1.（1）解│ka+b│=√3│a-kb│得：cos(α-β)=(1+k^2)/(4k) ……(*)
且向量a与向量b的内积整理得=cos(α-β)，将(*)式代入，即可得向量a
与向量b的数量积为(1+k^2)/(4k) （k>0)
(2) 若向量a与向量b垂直，则需cos(α-β)=0，此时k无实数解，即cos(α-β)
不可能等于0，故向量a与向量b垂直不能垂直；若向量a与向量b平行，
则需sin(α-β)=0,cos(α-β)=正负1；代入（*）式，并由k>0限制，
得k=2+√3或2-√3。所以当k=2+√3或2-√3时，向量a与向量b平行
（3）cos<向量a，向量b>=(1+k^2)/(4k)=1/（4k)+k/4>=1/2,
所以向量a与向量b的夹角arccos<向量a，向量b>小于等于60°。
所以向量a与向量b的夹角最大值为60°。
7.(1)证明：C的渐近线为：正负x-2y=0.因为P在C上，
所以P（x,正负根下(x^2-4)/4)。根据点到直线距离公式，
整理得：│Pl1││Pl2│=4/5,得证。
(2)设P(x,y),则│PA│=根下[(x-3)^2+y^2] 将y^2换掉，
整理得│PA│=根下[5/4（x-12/5)^2+964/125]
因为x>=2或<=-2，所以x=12/5能取到，即│PA│最小值为：
（4倍根下1205）/25