Question

已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)，(1)若a=2，求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)

已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)，(1)若a=2，求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)=x 2 -2x+2，若对任意x 1 ∈(0，+∞)，均存在x 2 ∈[0，1]，使得f(x 1 )＜g(x 2 )，求a的取值范围。

Answer 1

解：(1)由题意知 ，f′(1)=2+1=3， 故曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为3； (2) ， ①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f′(x)＞0， 所以f(x)的单调递增区间为(0，+∞)； ②当a＜0时，由f′(x)=0，得 ，在区间 上，f′(x)＞0，在区间 上，f′(x)＜0， 所以，函数f(x)的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； (3)由题意知，转化为 (其中x 1 ∈(0，+∞)，x 2 ∈[0，1])， 由(2)知，当a≥0时，f′(x 1 )＞0，f(x 1 )在(0，+∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意； 当a＜0时，f(x 1 )在 上单调递增，在 上单调递减， 故f(x 1 )的极大值即为最大值， f（x 1 ） max = ， 所以 ， 解得 。