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闭区间套定理：
设闭区间{[an，bn]}满足：[an，bn]?[an+1，bn+1]（n∈N+），
(bn?an)＝0，
则存在唯一的ξ，使ξ∈[an，bn]（n∈N+）且
an＝
bn＝ξ．
设f是[a，b]上的连续函数，下面用反证法证明f在[a，b]有界．
反设f在[a，b]无界，二等分区间[a，b]，
则存在一子区间[a1，b1]，使f在[a1，b1]无界，
再二等分[a1，b1]，则同样可以得到一个子区间[a2，b2]，使f在[a2，b2]上无界，
如此无限下去得到一闭区间套{[an，bn]}，f在任意[an，bn]无界．
显然，bn?an＝
→0(n→∞)，由闭区间套定理可以推知ξ∈[an，bn]（n∈N+）．
由f在ξ的连续性知：存在δ＞0，使f在[a，b]∩[U（ξ，δ）]有界，
而n充分大时，[an，bn]?U（ξ，δ），
这与f在[an，bn]上无界矛盾．
设闭区间{[an，bn]}满足：[an，bn]?[an+1，bn+1]（n∈N+），
| lim |
| n→∞ |
则存在唯一的ξ，使ξ∈[an，bn]（n∈N+）且
| lim |
| n→∞ |
| lim |
| n→∞ |
设f是[a，b]上的连续函数，下面用反证法证明f在[a，b]有界．
反设f在[a，b]无界，二等分区间[a，b]，
则存在一子区间[a1，b1]，使f在[a1，b1]无界，
再二等分[a1，b1]，则同样可以得到一个子区间[a2，b2]，使f在[a2，b2]上无界，
如此无限下去得到一闭区间套{[an，bn]}，f在任意[an，bn]无界．
显然，bn?an＝
| b?a |
| 2n |
由f在ξ的连续性知：存在δ＞0，使f在[a，b]∩[U（ξ，δ）]有界，
而n充分大时，[an，bn]?U（ξ，δ），
这与f在[an，bn]上无界矛盾．
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