如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MN⊥CD;  ...
如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MN⊥CD;(2)若PA=AB=AD=2,求二面角N-AB-C的大小....
如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MN⊥CD; (2)若PA=AB=AD=2,求二面角N-AB-C的大小.
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(1)证明:如图,取CD的中点Q,连接MQ,NQ,
则NQ∥CD,MQ∥AD,
又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,
又∵ABCD是矩形,∴CD⊥AD,且PA∩AD=A,
∴CD⊥平面茄迅PAD,∵PD?平面PAD,∴CD⊥PD,
∵NQ∥PD,∴CD⊥NQ,①
又∵MQ∥AD,CD⊥AD,∴CD⊥MQ,②,
由①②且MQ∩NQ=Q,∴CD⊥平面MNQ,
∵MN?平面滚握MNQ,∴MN⊥CD.(5分)
(2)解:∵M,N分别为A降CD的中点,又颤备此M为AB的中点,
∴MQ⊥AB,又MN⊥AB,
∴∠NMQ是二面角N-AB-C的平面角,
由(1)知AN=
PC=
=
,
∴MN=
=
,
又NQ=
PD=
,MQ=AD=2,
∴∠NMQ=45°,
∴二面角N-AB-C的大小为45°.
则NQ∥CD,MQ∥AD,
又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,
又∵ABCD是矩形,∴CD⊥AD,且PA∩AD=A,
∴CD⊥平面茄迅PAD,∵PD?平面PAD,∴CD⊥PD,
∵NQ∥PD,∴CD⊥NQ,①
又∵MQ∥AD,CD⊥AD,∴CD⊥MQ,②,
由①②且MQ∩NQ=Q,∴CD⊥平面MNQ,
∵MN?平面滚握MNQ,∴MN⊥CD.(5分)
(2)解:∵M,N分别为A降CD的中点,又颤备此M为AB的中点,
∴MQ⊥AB,又MN⊥AB,
∴∠NMQ是二面角N-AB-C的平面角,
由(1)知AN=
1 |
2 |
1 |
2 |
PA2+AC2 |
3 |
∴MN=
AN2?AM2 |
2 |
又NQ=
1 |
2 |
2 |
∴∠NMQ=45°,
∴二面角N-AB-C的大小为45°.
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