Question

（本题满分12分）如图，菱形 ABCD 的边长为20cm，∠ ABC ＝120°．动点 P 、 Q 同时从点 A 出发，其中 P

（本题满分12分）如图，菱形 ABCD 的边长为20cm，∠ ABC ＝120°．动点 P 、 Q 同时从点 A 出发，其中 P 以4cm/s的速度，沿 A → B → C 的路线向点 C 运动； Q 以2cm/s的速度，沿 A → C 的路线向点 C 运动．当 P 、 Q 到达终点 C 时，整个运动随之结束，设运动时间为 t 秒． 小题1:（1）在点 P 、 Q 运动过程中，请判断 PQ 与对角线 AC 的位置关系，并说明理由；小题2:（2）点 Q 关于菱形 ABCD 的对角线交点 O 的对称点为 M ，过点 P 且垂直于 AB 的直线 l 交菱形 ABCD 的边 AD （或 CD ）于点 N ．①当 t 为何值时，点 P 、 M 、 N 在一直线上？②当点 P 、 M 、 N 不在一直线上时，是否存在这样的 t ，使得△ PMN 是以 PN 为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的 t 的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

小题1: 小题2:

分析：（1）此问需分两种情况，当0＜t≤5及5＜t≤10两部分分别讨论得PQ⊥AC． （2）①由于点P、M、N在一直线上，则AQ+QM=AM，代入求得t的值． ②假设存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形，但是需分点N在AD上时和点N在CD上时两种情况分别讨论． （1）若0＜t≤5，则AP=4t，AQ=2 t． 则 = = ， 又∵AO=10 ，AB=20，∴ = = ． ∴ = ．又∠CAB=30°，∴△APQ∽△ABO． ∴∠AQP=90°，即源旁PQ⊥AC． 当5＜t≤10时，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC=90°，即PQ⊥AC． ∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC． （2）①如图，在Rt△APM中，∵∠PAM=30°，AP=4t， ∴AM= ． 在△APQ中，∠AQP=90°， ∴AQ=AP?cos30°=2 t， ∴QM=AC-2AQ=20 -4 t． 由AQ+QM=AM得：2 t+20 -4 t= ， 解得t= ． ∴当t= 时，点P、M、N在一直线上． ②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形． 设l交AC于H． 如乱塌图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH=30°． ∴MH=2NH．得20 -4 t- t=2× ，解得t=2． 如图2，当点N在CD上时，若PM⊥PN，则∠HMP=30°． ∴MH=2PH，同理可得t= ． 故当t=2或 时，存在以雹陪橡PN为一直角边的直角三角形．