Question

（2013?费县模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE和AF．

（2013?费县模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE和AF．（1）证明：四边形AECF为菱形；（2）若AB=1，BC=3，求菱形AECF的边长．

Answer 1

（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中，

∠EAO＝∠FCO AO＝CO ∠AOE＝∠COF

，
∴△AEO≌△CFO（ASA）；
∴OE=OF
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC
∴平行四边形AECF是菱形；

（2）解：设AF=x，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AF=CF=x，BF=3-x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，
1²+（3-x）²=x²，
解得 x=

5

3

．
即菱形AECF的边长是

5

3

．

Answer 2

如图所示：