Question

一个微积分的问题

图中是有y=x^2、y=0和x=1围成的封闭图形，试求该图形的周长和面积。
不是吧- -||我记得算弧长的公式是=∫((φ(t)'^2+(ψ(t)'^2)^(1/2)dt的啊，最后算到是ln(5^(1/2)+2
二楼的，我是这样看的啊，φ(t)'^2=x'^2=1，ψ(t)'^2=(x^2)'^2=4x^2，没问题啊
然后就是：
∫(1+4x^2)^(1/2)dx
设2x=tant，则
∫(1+tant^2)^(1/2)dt
=∫(sect^2)^(1/2)dt
=∫sect dt
=ln|sect+tant|
∴∫(1+4x^2)^(1/2)dx
=ln|(1+4x^2)^(1/2)+2x|
=ln(5^(1/2)+2)-ln1
=ln(5^(1/2)+2)
给个过程吧- -||

Answer 1

1楼的公式是对的.只不过周长的算错了
********************************************
S=∫x^2dx =1/3x^3
积分限时从0到1 即S=1/3

周长D=D1+2,其中D1是弧的长度
D1=∫根号下(1+(x^2)')dx=1/3(1+2x)^(3/2)
积分限是0到1则D1=根号3
********************************************
这里应该是根号3-1/3
然后
周长D=2+根号3-1/3=根号3+5/3

楼主弧长公式是以参数方程给出的
x=φ(t)
y=ψ(t)

这里可以这样看，把x看成参数
y=x^2
x=x
就有ds=根号（1+(y')^2）dx了

补充:不好意思,我也搞错了.公式我写对了.算得时候没有平方,根号(1+4x^2)是正确的.单好像结果不对1/2*√5-(1/4)*ln(√5-2)+2 我算得这个

∫(1+4x^2)^(1/2)dx
设2x=tant，则2dx=dtant
=(1/2)∫sect dtant
=(1/2)∫sect^3dt
化简完了应该是这个.你化简错了
*******************************
抛开(1/2)单独算
∫sect^3dt
=∫sect dtant
=secttant-∫tant^2sect dt
=secttant-∫(sect^2-1)sectdt
=secttant-∫sect^3+∫sectdt

所以2∫sect^3dt=secttant+ln(sect+tant)
∫sect^3dt=(1/2)[secttant+ln(sect+tant)]
原式=(1/4)[secttant+ln(sect+tant)] t(0->arctan2)
sec(arctan2)=√5 (在三角形里面斜边√5 两直角边1,2)
带入=(1/4)[2√5+ln(√5+2)-0]
=√5/2+(1/4)ln(√5+2)

所以原式=√5/2+(1/4)ln(√5+2)+2

ps:ln(√5+2)=ln[1/(√5-2)]=-ln(√5-2)
所以也=√5/2-(1/4)ln(√5-2)+2

Answer 2

解：该图形的面积=∫(0,1)x²dx （∫(0,1)表示从0到1积分）
=(x³/3)|(0,1)
=1/3
该图形的周长=1+1+∫(0,1)√(1+(y')²)dx
=2+∫(0,1)√(1+4x²)dx
=2+[x√(1+4x²)+ln|2x+√(1+4x²)|/2]|(0,1) (应用不定积分公式)
=2+√5+ln(2+√5)/2

Answer 3

S=∫x^2dx =1/3x^3
积分限时从0到1 即S=1/3

周长D=D1+2,其中D1是弧的长度
D1=∫根号下(1+(x^2)')dx=1/3(1+2x)^(3/2)
积分限是0到1则D1=根号3
所以周长D=2+根号3