Question

f(x)为连续函数，f(x)=x+2∫(上1下0) f(t)dt ，则f(x)=?

Answer 1

f(x) = x+2∫<下0，上1> f(t) dt ,
定积分为数值，令 ∫<下0，上1> f(t) dt = A，
上式两边在 [0, 1] 上积分，得 A=∫<下0，上1> xdtx + 2A(1-0) = 1/2+2A
则 A=-1/2, f(x)=x-1

Answer 2

记常数a=∫(上1下0) f(t)dt
则f(x)=x+2a
∫(上1下0) f(t)dt=∫(上1下0) (t+2a)dt=[t^2+2at](0,1)=1+2a
因此有a=1+2a, 得a=-1
因此f(x)=x-2

追问

少侠你∫(上1下0) (t+2a)dt=[t^2+2at](0,1) 这步是不是求错了？ 最后答案没有f(x)=x-2的选项

追答

哦，是的，求错了，更正一下：
∫(上1下0) f(t)dt=∫(上1下0) (t+2a)dt=[t^2/2+2at](0,1)=1/2+2a
因此有a=1/2+2a, 得a=-1/2
因此f(x)=x-1

Answer 3

f(x)=x-1.

Answer 4

约定：∫[a,b] 表示求[a,b]区间上的定积分。

解:设M=∫[0,1]f(t)dt
由f(x)=x+2M 得
M=∫[0,1](x+2M)dt
=((1/2)x^2+2Mx)|[0,1]
=1/2+2M
即 M=1/2+2M
解得 M=-1/2

所以 f(x)=x+2M=x-1

希望对你有点帮助！

追问

M=-1/2吧？ 答案没有f(x)=x-1/2的选项诶

追答

刚才不小心出错,已修正。希望对你有点帮助！