Question

设数列{a n }前n项和为S n ，已知a 1 =a（a≠4），a n+1 =2S n +4 n （n∈N * ）（Ⅰ）设b n = S

设数列{a n }前n项和为S n ，已知a 1 =a（a≠4），a n+1 =2S n +4 n （n∈N * ）（Ⅰ）设b n = S n - 4 n ，求证：数列{b n }是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅲ）若a n+1 ≥a n （n∈N * ），求实数a取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）证明：依题意得：S n+1 -S n =a n+1 =2S n +4 n ，即S n+1 =3S n +4 n ， 由此得 S n+1 - 4 n+1 =3（ S n - 4 n ）即b n+1 =3b n ，…（2分） ∴数列{b n }是公比为3的等比数列．         …（3分） （Ⅱ）∵ b n = S n - 4 n =(a-4)? 3 n-1 ， ∴ S n = 4 n +(a-4)? 3 n-1 ， ∴当n≥2时，a n =S n -S n-1 =3×4 n-1 +2（a-4）?3 n-2 ，…（6分） n=1时，a 1 =1 ∴ a n = 3× 4 n-1 +2(a-4)? 3 n-2 a，n=1 …（7分） （Ⅲ）∵a n+1 =3×4 n +2（a-4）?3 n-1 ， ∴a n+1 -a n =4?3 n-2 [ 9?( 4 3 ) n-2 +a-4 ]≥0 设f（n）= 9? ( 4 3 ) n-2 +a-4 ，则f（n）≥0，…（9分） ∵当n≥2时，f（n）是递增数列，∴f（n）的最小值为f（2）=a+5…（10分） ∴当n≥2时a n+1 -a n ≥0恒成立，等价于a+5≥0，即a≥-5…（11分） 又a 2 ≥a 1 等价于2a 1 +4≥a 1 ，即a≥-4．…（13分） 综上，所求的a的取值范围是[-4，4）∪（4，+∞）．…（14分）