Question

设数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1 =1，S n+1 =4a n +2（n∈N*）．（1）设b n =a n+1 ﹣2a n ，证明

设数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1 =1，S n+1 =4a n +2（n∈N*）．（1）设b n =a n+1 ﹣2a n ，证明数列{b n }是等比数列；（2）求数列{a n }的通项公式．

Answer 1

解：（1）由a 1 =1，及S n+1 =4a n +2， 得a 1 +a 2 =4a 1 +2，a 2 =3a 1 +2=5， 所以b 1 =a 2 ﹣2a 1 =3． 由S n+1 =4a n +2，① 则当n≥2时，有S n =4a n﹣1 +2，② ②﹣①得a n+1 =4a n ﹣4a n﹣1 ， 所以a n+1 ﹣2a n =2（a n ﹣2a n﹣1 ）， 又b n =a n+1 ﹣2a n ，所以b n =2b n﹣1 ， 所以{b n }是以b 1 =3为首项、以2为公比的等比数列． （2）由（I）可得b n =a n+1 ﹣2a n =3·2 n﹣1 ， 所以  ． 所以数列  是首项为  ，公差为  的等差数列． 所以  ， 即a n =（3n﹣1）·2 n﹣2 （n∈N*）．