Question

设数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1 =1，S n+1 =4a n +2，记b n =a n+1 -2a n ．（Ⅰ）求b 1 ，并证明

设数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1 =1，S n+1 =4a n +2，记b n =a n+1 -2a n ．（Ⅰ）求b 1 ，并证明{b n }是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式．

Answer 1

（Ⅰ）∵a 1 =1，S n+1 =4a n +2， ∴S 2 =4a 1 +2=a 1 +a 2 ，a 2 =5， ∴b 1 =a 2 -2a 1 ．=3， 另外，由S n+1 =4a n +2得，当n≥2时，有S n =4a n-1 +2， ∴S n+1 -S n =（4a n +2）-（4a n-1 +2）， 即a n+1 =4a n -4a n-1 ，a n+1 -2a n =2（a n -2a n-1 ），n≥2 又∵b n =a n+1 -2a n ．∴b n =2b n-1 ． ∴数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n =3?2 n-1 ，   a n+1 -2a n =3?2 n-1 ， ∴ a n+1 2 n+1 - a n 2 n = 3 4 ，数列{ a n 2 n }是首项 1 2 ，公差为 3 4 的等差数列． a n 2 n = 1 2 +（n-1）× 3 4 = 3 4 n- 1 4 a n =（3n-1）?2 n-2