Question

（2012?日照）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3，0），经过B点的直线交

（2012?日照）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）．（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）将A（-3，0），D（-2，-3）的坐标代入y=x²+bx+c得，

9?3b+c＝0 4?2b+c＝?3

，
解得：

b＝2 c＝?3

，
∴y=x²+2x-3    
由x²+2x-3=0，
得：x₁=-3，x₂=1，
∴B的坐标是（1，0），
设直线BD的解析式为y=kx+b，则

k+b＝0 ?2k+b＝?3

，
解得：

k＝1 b＝?1

，
∴直线BD的解析式为y=x-1；  

（2）∵直线BD的解析式是y=x-1，且EF∥BD，
∴直线EF的解析式为：y=x-a，
若四边形BDFE是平行四边形，
则DF∥x轴，
∴D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为-3．
由

y＝x2+2x?3 y＝x?a

，得
由y=x-a得，x=y+a，代入方程y=x²+2x-3得，
y²+（2a+1）y+a²+2a-3=0，
解得：y=

?(2a+1)± 13?4a

2

．
令

?(2a+1)± 13?4a

2

=-3，
解得：a₁=1，a₂=3．
当a=1时，E点的坐标（1，0），这与B点重合，舍去；
∴当a=3时，E点的坐标（3，0），符合题意．
∴存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形．