Question

两道高二圆锥曲线数学题，急求！！！！！！！！数学高手回答

1.过直角坐标平面xOy中的抛物线y^2=2px（p>0）的焦点F做一条倾斜角为45°的直线与抛物线相交于A,B两点。
（1）p表示A,B之间的距离；（这个不用回答，我做出来了）
（2）证明：∠AOB的大小是与p无关的定值，并求出这个值。（过程详细点，图在下面）

2.设F1,F2分别是椭圆C：x^2/4+y^2/3=1的左右焦点，P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点，直线PM，PN的斜率都存在，，并计为Kpm，Kpn，试探究Kpm·Kpn的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。

各位大侠，拜托了~~
图在这

Answer 1

1.
解:
(1)AB=p/sin^2(45°)=4p
(2)设直线方程为y=x-p/2 ，A点坐标为(x1，y1) B点坐标为(x2，y2)
cos∠AOB=向量OA*向量OB/向量OA的模*向量OB的模=(x1x2+y1y2)/√ (x1^2+y1^2)*√ （x2^2+y2^2）
y1y2=-p^2 x1x2=p^2/4
x1+x2=3p(这些你第一步用韦达定理应该推出来过，这里就不详细了)
代入得cos∠AOB=-(3√ 41)/41
所以∠AOB=π-arccos(3√ 41)/41

汗，好难算.......不排除计算错误

2.
解:设点M（m，n）点N（-m，-n）
所以m^2/4+n^2/3=1
设P点坐标为(x，y)
所以kpm=（y-n）/（x-m) kpn=(y+n)/(x+m)
得:kpm*kpn=（y^2-n^2）/(x^2-m^2)
将y^2=3-(3/4)*x^2 n^2=3-(3/4)*m^2代入得
kpm*kpn=-3/4

同理，自己验算..希望对你有所帮助，这两题有很多结论可以记一记，可以提高做题速度，貌似第二题结论对双曲线也成立，你可以尝试去推倒一下。

Answer 2

1、（2）设直线y=x-p/2,即x=y+p/2,
代入得y^2=2p(y+p/2)，整理得y^2-2py-p^2=0
设交点A(x1,y1),B(x2,y2)，故得
y1+y2=2p,y1y2=-p^2
y1^2=2px1,y2^2=2px2
x1x2=(y1^2/2p).(y2^2/2p)=(y1y2)^2/4p^2=p^2/4
|x2y1-x1y2|=|y1y2^2/2p-y2y1^2/2p|=|(y1y2)(y2-y1)/2p|
=|p(y1-y2)/2|=p√[(y1+y2)^2-4y1y2] /2
=p√8p^2 /2=p^2 .√2
|x1x2+y1y2|=|p^2/4+(-p^2)|=3p^2/4
kOA=y1/x1,kOB=y2/x2,
tan∠AOB=|(y1/x1-y2/x2)/(1+y1y2/x1x2)|
=|(x2y1-x1y2)/(x1x2+y1y2)|
=p^2 .√2/(3p^2/4)=4√2/3
故∠AOB与P无关。

2、设M（x1,y1）,N(-x1,-y1),P(x,y)
Kpm=(y-y1)/(x-x1), Kpn=(y+y1)/(x+x1)
Kpm.Kpn=(y^2-y1^2)/(x^2-x1^2)
又x^2/4+y^2/3=1
x1^2/4+y1^2/3=1
相减，得，(x^2-X1^2)/4+( y^2-y1^2)/3=0
整理(y^2-y1^2)/(x^2-x1^2)=-3/4
所以Kpm.Kpn=(y^2-y1^2)/(x^2-x1^2)= -3/4

Answer 3

问题错误

Answer 4

如图