Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到Rt△A 1 B 1 C．（1）如图1，若连接AA 1 ，BB 1 ，则 B B 1 A A 1 的值为______；（2）如图2，连接AB 1 、BA 1 ，判断S △ACB1 与S △ A 1 CB 的大小关系，并说明你的理由；（3）如图3，设AB的中点为O，A 1 B 1 的中点为P，当θ=______时，OP⊥A 1 C．

Answer 1

（1）根据旋转的定义，旋转角∠ACA 1 =∠BCB 1 ， ∵Rt△A 1 B 1 C是Rt△ABC绕顶点C旋转得到， ∴AC=A 1 C，BC=B 1 C， ∴△ACA 1 ∽ △BCB 1 ， ∴ B B 1 A A 1 = BC AC ， ∵cot30°= BC AC = 3 ， ∴ B B 1 A A 1 = 3 ； （2）S △ACB1 =S △A1CB ． 理由如下：如图2，作AM⊥B 1 C于点M，作A 1 N⊥CB于N， 则∠ACA 1 +∠A 1 CB=90°， ∠ACA 1 +∠ACM=90°， ∴∠A 1 CB=∠ACM， 在△ACM和△A 1 CN中， ∠ A 1 CB=∠ACM ∠AMC= ∠A 1 NC=90° AC =A 1 C ， ∴△ACM≌△A 1 CN（AAS）， ∴AM=A 1 N， 又∵CB 1 =CB， ∴S △ACB1 =S △A1CB ； （3）如图3，连接CO、PO， ∵AB的中点为O，A 1 B 1 的中点为P， ∴CO=PO=AO， ∵∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴∠A=90°-30°=60°， ∴△ACO是等边三角形， ∴∠ACO=60°， ∵OP⊥A 1 C， ∴∠A 1 CP=∠A 1 CO=∠A=60°（等腰三角形三线合一）， ∴∠ACA 1 =∠ACO+∠A 1 CO=60°+60°=120°， 即当θ=120°时，OP⊥A 1 C． 故答案为：（1） 3 ；（3）120°．