Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A1B1C）．（Ⅰ）如图①，当AB∥CB1时，旋转角θ=______（度）；（Ⅱ）如图②，取AC的中点E，A1B1的中点P，连接EP，已知AC=a，当θ=______（度）时，EP的长度最大，最大值为______．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵AB∥CB₁，∠ABC=30°，
∴∠BCB₁=∠ABC=30°，
∴旋转角为∠BCB₁=30°；

（Ⅱ）∵P为A₁B₁的中点，
∴CP=A₁P，
∵∠ABC=30°，
∴∠B₁=∠B=30°，
∴∠A₁=90°-∠B₁=90°-30°=60°，
∴△A₁CP是等边三角形，
∴∠A₁CP=60°，
根据三角形的三边关系，CE+CP＞EP，
∴当点E、C、P三点共线时EP最大，最大为EP=CE+CP，
此时，旋转角为180°-∠A₁CP=180°-60°=120°，
∵AC=a，点E为AC的中点，
∴EP=

1

2

a+a=

3a

2

．
故答案为：30；120，

3a

2

．