Question

在直角坐标系xoy中，点P到两点（0，- 3 ），（0， 3 ）的距离之和等于4，设

在直角坐标系xoy中，点P到两点（0，- 3 ），（0， 3 ）的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线y=kx+1与曲线C交于A、B两点．（I）写出曲线C的方程．（II）当∠AOB是锐角时，求k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以 (0，- 3 )，(0， 3 ) 为焦点，长半轴为2的椭圆． 它的短半轴 b= 2 2 -( 3 ) 2 =1 ，故曲线C的方程为： x 2 + y 2 4 =1 ； （Ⅱ）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），其坐标满足 y=kx+1 4 x 2 + y 2 =4 ． 消去y得，（k 2 +4）x 2 +2kx-3=0． △=4k 2 -4（k 2 +4）（-3）=16k 2 +48＞0， x 1 + x 2 =- 2k k 2 +4 ， x 1 x 2 =- 3 k 2 +4 ． 若∠AOB是锐角，则 OA ? OB ＞0 ，即x 1 x 2 +y 1 y 2 ＞0， 而 y 1 y 2 =(k x 1 +1)(k x 2 +1)= k 2 x 1 x 2 +k( x 1 + x 2 )+1 = 4-4 k 2 k 2 +4 ． 于是 x 1 x 2 + y 1 y 2 =- 3 k 2 +4 + 4-4 k 2 k 2 +4 ＞0 ． 所以 - 1 2 ＜k＜ 1 2 ．