Question

已知f(x+1)=x²,用函数单调性的定义证明函数f(x)在区间(-∞,1)上是减函数

已知f(x+1)=x²,用函数单调性的定义证明函数f(x)在区间(-∞,1)上是减函数

Answer 1

令y=x+1
则x=y-1
f(y)=(y-1)²
即f(x)=(x-1)²
取任意的x1,x2且x1<x2<1
f(x1)-f(x2)=(x1-1)²-(x2-1)²=(x1-x2)(x1+x2-2)
∵x1<x2<1，∴x1-x2<0,x1+x2<2
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1+x2-2)>0
即f(x1)>f(x2)
所以f(x)在区间(-∞,1)上是减函数

Answer 2

令a=x+1,则x=a-1
f(a)=(a-1)²
所以f(x)=(x-1)²

令x1<x2<1
则f(x1)-f(x2)
=(x1-1)²-(x2-1)²
=(x1-1+x2-1)(x1-1-x2+1)
=(x1+x2-2)(x1-x2)

x1<1,x2<1
所以x1+x2<2
x1+x2-2<0

x1<x2
所以x1-x2<0
所以(x1+x2-2)(x1-x2)>0

所以f(x1)-f(x2)>0
即x1<x2<1时f(x1)>f(x2)
所以x<1时，f(x)是减函数