Question

设Ω={（x，y，z）|x2+y2+z2≤1}，则?Ω（x2+y2）dxdydz=______

设Ω={（x，y，z）|x2+y2+z2≤1}，则?Ω（x2+y2）dxdydz=______．

Answer 1

∵

?

Ω

（x²+y²）dxdydz=

?

Ω

x2dxdydz+

?

Ω

y2dxdydz=I₁+I₂，
∴I1＝

?

Ω

x2dxdydz═

∫

1 ?1

x2dx

?

Rx

dydz，
其中R_x表示球面：y²+z²≤1-x²，
它的面积为：π（1-x²），
∴I1＝

∫

1 ?1

x2(1?x2)dx=

4

15

π
同理可得：I2＝

4

15

π，
从而：

?

Ω

（x²+y²）dxdydz=

8

15

π，
故答案为：

8

15

π．

Answer 2

【方法一】
直接利用求坐标系计算可得：
?Ωz2dxdydz= ∫2π0θ ∫π0dφ ∫10ρ2cos2φρ2sinφdρ
= ∫2π0dθ ∫π0cos2φd(?cosφ) ∫10ρ4dρ
=2π? 23? 15
= 4π15．

【方法二】
由轮换对称性可知：
?Ωz²dxdydz= ?Ωx²dxdydz= ?Ωy²dxdydz，
所以：
?Ωz²dxdydz= 13?Ω（x²+y²+z²）dxdydz= 13∫2π0dθ ∫π0dφ ∫10r4sinφdr= 4π15．

Answer 3

∵

?Ω

（x²+y²）dxdydz=

?Ω

x2dxdydz+

?Ω

y2dxdydz

=I₁+I₂，
∴

I1＝

?Ω

x2dxdydz

═

∫1?1

x2dx

?Rx

dydz

，
其中R_x表示球面：y²+z²≤1-x²，
它的面积为：π（1-x²），
∴

I1＝

∫1?1

x2(1?x2)dx

=

415

π

同理可得：

I2＝

415

π

，
从而：

?Ω

（x²+y²）dxdydz=

815

π

，
故答案为：

815

π

．