Question

已知数列{an}，an≥0，a1=0，an+12+an+1-1=an2（n∈N?）．记Sn=a1+a2+…+an．Tn＝11+a1+1(1+a1)(1+a2)+…

已知数列{an}，an≥0，a1=0，an+12+an+1-1=an2（n∈N?）．记Sn=a1+a2+…+an．Tn＝11+a1+1(1+a1)(1+a2)+…+1(1+a1)(1+a2)…(1+an)．求证：当n∈N?时，（Ⅰ）an＜an+1；（Ⅱ）Sn＞n-2．

Answer 1

（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
①当n=1时，因为a₂是方程x²+x-1=0的正根，所以a₁＜a₂．
②假设当n=k（k∈N^*）时，a_k＜a_k+1，
因为a_k+1²-a_k²=（a_k+2²+a_k+2-1）-（a_k+1²+a_k+1-1）=（a_k+2-a_k+1）（a_k+2+a_k+1+1），
所以a_k+1＜a_k+2．
即当n=k+1时，a_n＜a_n+1也成立．
根据①和②，可知a_n＜a_n+1对任何n∈N^*都成立．

（Ⅱ）证明：由a_k+1²+a_k+1-1=a_k²，k=1，2，…，n-1（n≥2），
得a_n²+（a₂+a₃+…+a_n）-（n-1）=a₁²．
因为a₁=0，所以S_n=n-1-a_n²．
由a_n＜a_n+1及a_n+1=1+a_n²-2a_n+1²＜1得a_n＜1，
所以S_n＞n-2．