Question

一辆质量m=2.0t的小轿车，驶过半径R=90m的一段圆弧形桥面，重力加速度g=10m/s2．求：（1）若桥面为凹形，

一辆质量m=2.0t的小轿车，驶过半径R=90m的一段圆弧形桥面，重力加速度g=10m/s2．求：（1）若桥面为凹形，汽车以20m/s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？（2）若桥面为凸形，汽车以10m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？（3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？

Answer 1

解：（1）汽车通过凹形桥面最低点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f．在竖直方向受到桥面向上的支持力N₁和向下的重力G，如图（甲）所示．圆弧形轨道的圆心在汽车上方，支持力N₁与重力G的合力为N₁-mg，这个合力就是汽车通过桥面最低点时的向心力，即F_向=N₁-mg．
由向心力公式有：
N₁-mg=m

v2

R

，
解得桥面的支持力大小为
N₁=m

v2

R

+mg=（2000×

202

90

+2000×10）N=28900N
根据牛顿第三定律，汽车对桥面最低点的压力大小是28900N．
（2）汽车通过凸形桥面最高点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f，在竖直方向受到竖直向下的重力G和桥面向上的支持力N₂，如图（乙）所示．圆弧形轨道的圆心在汽车的下方，重力G与支持力N₂ 的合力为mg-N₂，这个合力就是汽车通过桥面顶点时的向心力，即F_向=mg-N₂，由向心力公式有
mg-N₂=m

v2

R

，
解得桥面的支持力大小为：N₂=mg-m

v2

R

=（2000×10-2000×

102

90

）=17800N
根据牛顿第三定律，汽车在桥的顶点时对桥面压力的大小为17800N．
（3）设汽车速度为v_m时，通过凸形桥面顶点时对桥面压力为零．根据牛顿第三定律，这时桥面对汽车的支持力也为零，汽车在竖直方向只受到重力G作用，重力就是汽车驶过桥顶点时的向心力，由向心力公式有：
mg=m

vm2

R

，
解得：v_m=

gR

=

10×90

=30m/s
汽车以30 m/s的速度通过桥面顶点时，对桥面刚好没有压力．
答：（1）若桥面为凹形，汽车以20m/s的速度通过桥面最低点时，汽车对桥面最低点的压力大小是28900N．
（2）若桥面为凸形，汽车以10m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是17800N；
（3）汽车以30m/s速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力．