Question

高数题目 求齐次方程(x+y)dx+(3x-3y-4)dy=0的通解

答案是 x+3y+2ln(2-x-y)=c 我算得答案很复杂 不知道最后怎么才能出来这个答案
3(u-1)/(1+4u-3u^2)=dX/X 然后 我算到两个-0.5ln绝对值u^2+2/3u-1/3 + 根号2 ln 绝对值..... 很复杂的一个式子

Answer 1

解：联立解方程组
x+y=0
3x-3y-4=0
解得：x=2/3，y=-2/3.
令：
X=x-2/3
Y=y+2/3.
则原方程为：(X+Y)dX+(3X-3Y)dY=0.即：dY/dX=(1+Y/X)/(3Y/X-3).令Y/X=u.
则：dY/dX=X*(du/dX)+u=(1+u)/(3u-3).
即：X/dX=(((1+u)/(3u-3))-u)/du.

该方程解出来确实很复杂，我用了半天也得不到你的答案。所以估计你的题目是错的，用答案验证一下，果然如此.我改了一个符号，原方程应该是：
(x+y)dx+(3x+3y-4)dy=0.
令x+y=u.则dy=du-dx.
所以：udx+(3u-4)(du-dx)=0.
化得：(3/2)du+(1/(u-2))du=dx.
所以：(3/2)u+ln|u-2|=x+C/2
即：3u-2x+2ln|u-2|=C.代入u=x+y有：
3x+3y-2x+2ln|x+y-2|=C.
即：x+3y+2ln|x+y-2|=C.ln|x+y-2|必须加绝对值：
所以：x+3y+2ln|2-x-y|=C.为通解，就是你的答案了。