Question

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90 。 ． ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为_________，数量关系为__________． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90 。 ，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）（3）若AC= ，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

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Answer 1

（1）①垂直；相等；         ②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立          由正方形ADEF得 AD=AF ，∠DAF=90 。 ．              ∵∠BAC=90 。 ，∴∠DAF=∠BAC ，             ∴∠DAB=∠FAC，又AB=AC ，             ∴△DAB≌△FAC         ∴CF=BD 　　　　              ∠ACF=∠ABD．            ∵∠BAC=90 。 ， AB=AC ，∴∠ABC=45 o ，∴∠ACF=45 o ，            ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90 o ．即 CF⊥BD
（2）　 当∠BCA=45 o 时，CF⊥BD（如图）．       理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，     ∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF     ∴∠ACF=∠AGD=45 o ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90 o ． 即CF⊥BD
（3）当具备∠BCA=45 o 时，过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图）      ∵DE与CF交于点P时， ∴此时点D位于线段CQ上，      ∵∠BCA=45 o ，可求出AQ= CQ=4．        设CD=x ，∴ DQ=4-x，      容易说明△AQD∽△DCP，     ∴ ， ∴ ，     ∴               ∵0＜x≤3 ∴当x=2时，CP有最大值1．