Question

在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边在AD的右侧作

Answer 1

解：（1）①CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；

②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（3分）
（2）①画出图形（如图4），判断：（1）中的结论不成立．

②画出图形（如图5），判断：（1）中的结论不成立．（4分）

（3）当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图6）．
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∴AC=AG．
可证：△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°．
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°
即CF⊥BD．

（4）当具备∠BCA=45°时，
过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，，
∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，
∵∠BCA=45°，AC=2√2
∴由勾股定理可求得AQ=CQ=2．
设CD=x，∴DQ=2-x，
易证△AQD∽△DCP，
∴CP:DO=CD:AO ，∴CP/2-x =x/2 ．
∴CP=-1/2 x²+x=- 1/2（x-1)²+ 1/2．
∵0＜x≤ 3/2，
∴当x=1时，CP有最大值1/2 ．