Question

如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球B连接着轻质弹簧，处于静止状态，质量为2m的小球A以大小为v 0 的

如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球B连接着轻质弹簧，处于静止状态，质量为2m的小球A以大小为v 0 的初速度向右运动，接着逐渐压缩弹簧并使B运动，过一段时间，A与弹簧分离．（1）当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能Ep多大？（2）若开始时在B球的右侧，某位置固定一挡板，在A球与弹簧未分离前使B球与挡板碰撞，并在碰后立刻将挡板撤走，设B球与挡板的碰撞时间极短，碰后B球的速度大小不变但方向相反，欲使此后弹簧被压缩到最短时，弹性势能达到第（1）问中Ep的2.5倍，必须使B球的速度多大时与挡板发生碰撞？

Answer 1

（1）当弹簧压缩到最短时，A、B的速度相等，2mv 0 =3mv 1 ① A和B的共同速度v 1 = 2 3 v 0 根据系统的机械能守恒得 1 2 ?2mv 0 2 = 1 2 ?3mv 1 2 +Ep          ② 解得 此时弹簧的弹性势能Ep= 1 3 mv 0 2                     ③ （2）B碰挡板时没有机械能损失，碰后弹簧被压缩到最短时，A、B速度也相等， 1 2 ?2mv 0 2 = 1 2 ?3mv 2 2 +Ep′④    Ep′=2.5Ep= 5 6 mv 0 2 解得v 2 =± v 0 3 ⑤ 取向右为正方向．若v 2 = v 0 3 ，则表示B球与板碰撞后，A、B此时一起向右运动．B球与板碰撞前B与A动量守恒  2mv 0 =2 mv A +mv B ⑥ B球与板碰撞后B与A动量也守恒   2mv A -mv B =3m? v 0 3 ⑦ 解得   v A = 3 4 v 0 ，v B = v 0 2 因为此时v A ＞v B ，弹簧还将继续缩短，所以这种状态是能够出现的， 若v 2 =- v 0 3 ，则表示B球与板碰撞后A、B向左运动，B球与板碰撞后B和A动量守恒   2mv A -mv B =3mv 2 =-3m? v 0 3  ⑧ 由⑥⑧可得，v A = v 0 4 ，v B = 3 2 v 0                      此时A、B球的总动能E K总 = 1 2 ?2mv A 2 + 1 2 mv B 2 =m（ v 0 4 ） 2 + 1 2 （ 3 2 v 0 ） 2 = 19 16 mv 0 2   E K总 大于A球最初的动能mv 0 2 ，因此v B = 3 2 v 0 这种状态是不可能出现的，因此必须使B球在速度为 v 0 2 时与挡板发生碰撞．   ⑨ 答： （1）当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能Ep为 1 3 mv 0 2 ． （2）必须使B球在速度为 v 0 2 时与挡板发生碰撞．