Question

已知关于x的实系数一元二次方程2x2-4（m-1）x+m2+1=0．（1）若方程的两根为x1、x2，且|x1|+|x2|=2，求m的

已知关于x的实系数一元二次方程2x2-4（m-1）x+m2+1=0．（1）若方程的两根为x1、x2，且|x1|+|x2|=2，求m的值；（2）若方程有虚根z，且z3∈R，求m的值．

Answer 1

（1）当△≥0，即m∈(?∞，2?

3

]∪[2+

3

，+∞)，由x1+x2＝

m2+1

2

＞0，可知两根同号，
从而|x₁|+|x₂|=|x₁+x₂|=2，求得 2（m-1）=±2，解得m=0或m=2（舍）．
当△＜0，可得 m∈(2?

3

，2+

3

)，此时方程有两个共轭复根，故|x₁|=|x₂|，且由|x₁|+|x₂|=2可得|x₁|=1，
进而1＝|x1|2＝x1x2＝

m2+1

2

，解得m=1或m=-1（舍）；
从而综上所述：m=0，或m=1．
（2）由题意2z²-4（m-1）z+m²+1=0 （I），从而2z³-4（m-1）z²+（m²+1）z=0 （II）．
由（I）、（II）联立消去z²，可得2z³+[（m²+1）-8（m-1）²]z+2（m²+1）（m-1）=0
由于z为虚数，且z³∈R，从而（m²+1）-8（m-1）²=0，可得7m²-16m+7=0，
解得m＝

8± 15

7

．