Question

已知函数f（x）=lnx-a(x?1)x+1．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；

已知函数f（x）=lnx-a(x?1)x+1．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设p，q∈R+，且p＞q，求证：p?qlnp?lnq＜p+q2．

Answer 1

（Ⅰ）：∵f（x）=lnx-

a(x?1)

x+1

，
∴f′（x）=

1

x

-

a(x+1)?a(x?1)

(x+1)2

=

x2+(2?2a)x+1

x(x+1)2

，
∵函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，
∴∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即x²+（2-2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴2a-2≤x+

1

x

≤2，当且仅当x=1时取等号，
∴a≤2，
故实数a的取值范围为（-∞，2]，
（Ⅱ）证明：要证

p?q

lnp?lnq

＜

p+q

2

，
只需要证：

p q ?1

ln p q

＜

p q +1

2

，
即证ln

p

q

＞

2( p q ?1)

p q +1

＞0，
设h（x）=lnx-

2(x?1)

x+1

，
由（Ⅰ）知函数在（1，+∞）上为单调递增函数，又

p

q

＞1，
∴h（

p

q

）＞h（1）=0，
即ln

p

q

-

2( p q ?1)

p q +1

＞0，
∴

p?q

lnp?lnq

＜

p+q

2

．