Question

如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数y=-x 2 的图象为l 1

如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数y=-x 2 的图象为l 1 。 （1）平移抛物线l 1 ，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）；（2）平移抛物线l 1 ，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为l 2 ，如图2，求抛物线l 2 的函数解析式及顶点C的坐标；（3）设P为y轴上一点，且S △ABC =S △ABP ，求点P的坐标；（4）请在图2上用尺规作图的方式探究抛物线l 2 上是否存在点Q，使△QAB为等腰三角形？若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明。

Answer 1

解：（1） （答案不唯一）。 （2）设 的解析式为 联立方程组 解得： 则 的解析式为 点C的坐标为（ ）。
（3）如图，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F 则AD=2， ，BE=1，DE=2， ， 得：S △ABC =S 梯形ABED -S 梯形BCFE -S 梯形ACFD = 延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为 则点G的坐标为（0， ），设点P的坐标为（0，h） ①当点P位于点G的下方时， ，连接AP、BP 则 又 得 点P的坐标为（0，- ）。 ②当点P位于点G的上方时， 同理， 点P的坐标为（0， ） 综上所述所求点P的坐标为（0，- ）或（0， ）。
（4）由图可知，满足条件的点有Q 1 、Q 2 、Q 3 、Q 4 ，共4个可能的位置。