Question

如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数y=-x 2 的图象为l 1

如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数y=-x 2 的图象为l 1 。 （1）平移抛物线l 1 ，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）；（2）平移抛物线l 1 ，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为l 2 ，如图2，求抛物线l 2 的函数解析式及顶点C的坐标；（3）设P为y轴上一点，且S △ABC =S △ABP ，求点P的坐标；（4）请在图2上用尺规作图的方式探究抛物线l 2 上是否存在点Q，使△QAB为等腰三角形？若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明。