Question

已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CM是斜边AB的中线，过点M作CM的垂线与边AC和CB的延长线分别交于点D

已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CM是斜边AB的中线，过点M作CM的垂线与边AC和CB的延长线分别交于点D和点E．（1）求证：MC?BC=DM?AC；（2）若tanA=23，AD=6，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CM是斜边AB的中线，
∴CM=AM=BM=

1

2

AB，
∴∠A=∠ACM，
∵CM⊥DE，
∴∠CMD=∠ACB=90°，
∴△CDM∽△ABC，
∴MC：AC=DM：BC，
∴MC?BC=DM?AC；

（2）解：∵∠A=∠ACM，tanA=

2

3

，
∴在Rt△CDM中，

DM

CM

=

2

3

，
∵CM=BM，
∴DM：BM=2：3，
∵∠ACM+∠BCM=∠BCM+∠E=90°，
∴∠ACM=∠E，
∴∠A=∠E，
∵∠AMD=∠EMB，
∴△ADM∽△EBM，
∴AD：BE=DM：BM，
∵AD=6，
∴BE=

3

2

×6=9．