Question

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，请证明Sn，S2n-Sn，S3n-S2n（n∈N+）成等差数列

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，请证明Sn，S2n-Sn，S3n-S2n（n∈N+）成等差数列．

Answer 1

证明：设等差数列a_n的首项为a₁，公差为d，
则S_n=a₁+a₂+…+a_n，S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n=a₁+nd+a₂+nd+…+a_n+nd=S_n+n²d，
同理：S_3n-S_2n=a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+n²d=S_2n-S_n+n²d，
∴2（S_2n-S_n）=S_n+（S_3n-S_2n），
∴S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n是等差数列．

Answer 2

解：证明：设等差数列an的首项为a1，公差为d，
则Sn=a1+a2+…+an，S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+an+nd=Sn+n2d，
同理：S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=an+1+an+2+…+a2n+n2d=S2n-Sn+n2d，
∴2（S2n-Sn）=Sn+（S3n-S2n），
∴Sn，S2n-Sn，S3n-S2n是等差数列．