Question

求函数f(x)=ln(x+√1+x^2)的定义域,判断其单调性,并根据定义证明

Answer 1

因为√1+x^2>√x²=|x|,所以对任意实数x,都有x+√(1+x²)>0
∴定义域是(-∞,+∞)

函数在(-∞,+∞)上单增的.
设x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2
[x1+√(1+x1²)]-[x2+√(1+x2²)]
=(x1-x2)+(x1+x2)(x1-x2)/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]
=(x1-x2)[1+(x1+x2)/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]]

|(x1+x2)/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]|<(|x1|+|x2|)/(|x1|+|x2|)=1

∴1+(x1+x2)/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]>0
又x1-x2<0
∴[x1+√(1+x1²)]-[x2+√(1+x2²)]
=(x1-x2)[1+(x1+x2)/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]]<0
∴x1+√(1+x1²)<x2+√(1+x2²)
∴f(x1)<f(x2)
即函数f(x)是单调增加的！