Question

初三数学综合题（涵盖相似，二次函数）

高手进，好的会加分...咱不差分

正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上两动点。当M在BC运动时，保持AM和MN垂直。
（1）证明：Rt三角形ABM与RT三角形MCN相似
（2）设BM为x,提醒ABCN面积为y,求y与x的函数关系式。当M运动到什么位置时，ABCN面积最大？是多少？
（3）当x取何值时，RT三角形ABM和RT三角形AMN相似？

万分感谢！！！

Answer 1

正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上两动点。当M在BC运动时，保持AM和MN垂直。

（1）证明：Rt三角形ABM与RT三角形MCN相似

（2）设BM为x,提醒ABCN面积为y,求y与x的函数关系式。当M运动到什么位置时，ABCN面积最大？是多少？

（3）当x取何值时，RT三角形ABM和RT三角形AMN相似？

Answer 2

(1)因为∠AMN=90度，故∠AMB+∠NMC=90度，又∠NMC+∠MNC=90度，故∠AMB=∠MNC,又两三角形都是RT三角形，故△ABM∽△MCN.
(2)BM=X,则MC=4-X,由△ABM∽△MCN，AB:MC=BM:NC,得NC=MC*BM/AB=(4-X)*X/4,而梯形ABCN的面积Y=（AB+NC)*BC/2=[4+(4-X)*X/4]*2=(-X^2+4X+16)/2,
而Y=[-(X-2)^2+20]/2,当X=2时Y最大，故当M运动到离B长为2时ABCN面积最大，为10.
（3）BM=X,则AM=根号（16+X^2），MN=根号[MC^2+NC^2]=根号[(4-X)^2+(4-X)^2*X^2/16]=根号[(4-X)^2*(X^2+16)/16]，要△ABM∽△AMN,要AB:AM=BM:MN,即4：根号（16+X^2）=x:根号[(4-X)^2*(X^2+1)/16],化简可得X^2=(4-X)^2解得X=2,即X=2时RT三角形ABM和RT三角形AMN相似