Question

等价无穷小替换 （1+x）^a－1~ax 当a含有x时可以替换吗

Answer 1

不可以。

1、若a=1/x，那么（1+x）^(1/x)-1，当x趋向于0时，就不是无穷小了，而是常数e；

2、若a=2x，那么（1+x）^(2/x²)-1⇒∞。所以，在本题的类型中，做等价无穷小代换时，a不可以含有x。

x->0是统一的。

用洛必达法则

lim[(1+x)^a-1]/(ax)

=lim a(x+1)/a

=lim (x+1)

=1

等价无穷小替换

是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

求极限时，使用等价无穷小的条件：

被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

Answer 2

不可以！

举例来说：

1、若 a = 1/x，那么（1 + x）^(1/x) - 1 ，当 x 趋向于0 时，就不是无穷小了，而是常数 e；

.2、若 a = 2x，那么（1 + x）^(2/x²) - 1 ⇒ ∞。所以，在本题的类型中，做等价无穷小代换时，a不可以含有 x。

扩展资料：

常用等价无穷小：

1、e^x-1～x (x→0)

2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)

3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)

4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)

5、sinx~x (x→0)

6、tanx~x (x→0)

7、arcsinx~x (x→0)

8、arctanx~x (x→0)

9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)

10、a^x-1~xlna (x→0)

11、e^x-1~x (x→0)

12、ln(1+x)~x (x→0)

Answer 3

不可以！
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举例来说吧：
1、若 a = 1/x，那么（1 + x）^(1/x) - 1 ，当 x 趋向于 0 时，
就不是无穷小了，而是常数 e；
.
2、若 a = 2x，那么（1 + x）^(2/x²) - 1 ⇒ ∞。
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所以，在本题的类型中，做等价无穷小代换时，
a 不可以含有 x。
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如有疑问，欢迎追问，有问必答。
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Answer 4

当a是有界函数时可替换，如当x→0时，即函数为x=0，是有界函数，此时(1+x)^x-1~x^x

Answer 5