Question

初三数学难题

已知y=m^2+m+4,若m为整数，在使得y为一个整数的完全平方数的所有m的值中，设m的最大值为a，最小值为b，此小值为c.
（1）求a、b、c的值
（2）对a、b、c进行如下操作：任取两个求其和再除以根号2，同时求其差再除以根号2，剩下的另一个数不变，这样就认得到三个数。在对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次死上述操作，所得三个数得平方和等于2008？证明您的结论。
2 若b大于（a+c），则一元二次方程ax^2+bx+c=0有两个不相等的实数根

Answer 1

1.(2y)^2=(2m+1)^2+15,(2y+2m+1)*(2y-2m-1)=15,故2y+2m+1=1,2y-2m-1=15或者2y+2m+1=3,2y-2m-1=5或者2y+2m+1=-1,2y-2m-1=-15或者2y+2m+1=-3,2y-2m-1=-5，解得y=4,m=-4;y=2,m=-1;y=-4,m=3;y=1/2,m=(舍去)，故m最大为a=3，最小为b=-4，次小为c=-1
2.两个数的绝对值之和最大为7，故3个新数的平方和<7*7/2+7*7/2+-4*-4=49+16<2008故不可能。
3.方程判别式=b^2-4ac,若a+c>0则delta>(a+c)^2-4ac=(a-c)^2>=0,此时方程有俩不相等实根；若a+c<0,(1)当a，c异号时必然成立。（2）a，c同负时，未必。

Answer 2

（一）(1).可设m,n∈Z,且n^2=m^2+m+4.===>(2n)^2=(2m+1)^2+15.===>(2n+2m+1)(2n-2m-1)=15=1*15=(-1)*(-15)=3*5=(-3)*(-5)=p*q.[(p,q):(1,15),(15,1),(-1,-15),(-15,-1),(3,5),(5,3),(-3,-5),(-5,-3)]===>2n+2m+1=p,2n-2m-1=q.===>n=(p+q)/4,m=(p-q-2)/4.将p,q相应的值代入m=(p-q-2)/4中得m=-4,-1,0,3.===>a=3,b=-4,c=-1.(2).易知，对任意的三个数x,y,z进行如题中的操作，其平方和不变。如{x,y,z}===>{(x+y)/(√2),(x-y)/(√2),z}.===>[(x+y)/(√2)]^2+[(x-y)/(√2)]^2+z^2=x^2+y^2+z^2.故对a=3,b=-4,c=-1进行任意次操作，所得的三数的平方和仍是a^2+b^2+c^2=26≠2008.(二).我举个反例，a=c=-1,b=0.则有0>-2,即b>a+c.此时方程为x^2+1=0.无实根。可能你还少了条件。

Answer 3

1.(2y)^2=(2m+1)^2+15,(2y+2m+1)*(2y-2m-1)=15,故2y+2m+1=1,2y-2m-1=15或者2y+2m+1=3,2y-2m-1=5或者2y+2m+1=-1,2y-2m-1=-15或者2y+2m+1=-3,2y-2m-1=-5，解得y=4,m=-4;y=2,m=-1;y=-4,m=3;y=1/2,m=(舍去)，故m最大为a=3，最小为b=-4，次小为c=-1
2.两个数的绝对值之和最大为7，故3个新数的平方和<7*7/2+7*7/2+-4*-4=49+16<2008故不可能。
3.方程判别式=b^2-4ac,若a+c>0则delta>(a+c)^2-4ac=(a-c)^2>=0,此时方程有俩不相等实根；若a+c<0,(1)当a，c异号时必然成立。（2）a，c同负时，未必。先来第一问
设y=k^2，两边乘4
4k^2=(2m+1)^2+15
（2k+2m+1)(2k-2m-1)=7=1*15=15*1=3*5
=5*3（正负无所谓）
故2m+1=7,-7,1,-1;m=3,-4,-1,0
a=3，b=-4，c=4
(我不懂你c是什么，认为是y的最小值）

在第二问
不能
因为操作前后三数平方和为定值，但a^2+b^2+c^2不为2008

最后是补充
只需证b^2＞4ac
事实上，b^2＞(a+b)^2=(a-b)^2+4ac＞4ac
得证

Answer 4

先来第一问
设y=k^2，两边乘4
4k^2=(2m+1)^2+15
（2k+2m+1)(2k-2m-1)=7=1*15=15*1=3*5
=5*3（正负无所谓）
故2m+1=7,-7,1,-1;m=3,-4,-1,0
a=3，b=-4，c=4
(我不懂你c是什么，认为是y的最小值）

在第二问
不能
因为操作前后三数平方和为定值，但a^2+b^2+c^2不为2008

最后是补充
只需证b^2＞4ac
事实上，b^2＞(a+b)^2=(a-b)^2+4ac＞4ac
得证

Answer 5

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http://zhidao.baidu.com/question/108095421.html