求证：已知a b属于正实数 且a不等于b 求a的4次方加上b的4次方大于a的3次方乘以b+a乘以b的3次方 5
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已知a b属于正实数 且a≠b 求证:a^4+b^4>a^3b+ab^3
证:(a^4+b^4)-(a^3b+ab^3)
=(a^4-a^3b)+(b^4-ab^3)
=a^3(a-b)+b^3(b-a)
=a^3(a-b)-b^3(a-b)
=(a^3-b^3)(a-b)
=(a-b)(a^2+ab+b^2)(a-b)
=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)..............(*)
∵a b属于正实数,∴(a^2+ab+b^2)>0
又a不等于b,∴(a-b)>0
故(*)>0
即(a^4+b^4)-(a^3b+ab^3)>0
∴a^4+b^4>a^3b+ab^3
证:(a^4+b^4)-(a^3b+ab^3)
=(a^4-a^3b)+(b^4-ab^3)
=a^3(a-b)+b^3(b-a)
=a^3(a-b)-b^3(a-b)
=(a^3-b^3)(a-b)
=(a-b)(a^2+ab+b^2)(a-b)
=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)..............(*)
∵a b属于正实数,∴(a^2+ab+b^2)>0
又a不等于b,∴(a-b)>0
故(*)>0
即(a^4+b^4)-(a^3b+ab^3)>0
∴a^4+b^4>a^3b+ab^3
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