Question

设a,b∈R，函数f（x）＝ax²＋b（x＋1）－2.若对任意实数b，方程f（x）＝x有两个相异实

设a,b∈R，函数f（x）＝ax²＋b（x＋1）－2.若对任意实数b，方程f（x）＝x有两个相异实根，求实数a的取值范围

Answer 1

1. 化简方程f（x）＝x

   f（x）＝ax²＋b（x＋1）－2=x，设F（x）=ax²＋b（x＋1）－2-x

   =ax²＋（b-1）x＋b－2=0

2. 求解F（x）的△值

   因为对于任意实数b，F（x）=0恒成立且有两个不同实根，于是有△=b^2-4ac>0恒成立。代入得不等式如下：

   
   

   

   （对于b=2的情况，显然成立）

   此时问题转化为解对于任意实数b（b≠2），求的最小值。

3. 求解h（b）最小值

   
   

   

   解得h（b）最小值为1，故a<1时，F（x）=0必有2个不等实根

4. 得出结论

   综上，a<1

(补充：求解过程中应用了均值不等式，二次方程求根公式以及极值问题转化等思想)

Answer 2

Δ=b^2-4a(b-2)>0
(b-2a)^2+8a-4a^2>0
即8a-4a^2>0
0<a<2

追问

是f（x）＝x啊

追答

哦
那改一下就行了
ax^2+(b-1)x+(b-2)=0
Δ=b^2-(2+4a)b+8a+1>0
-4a^2+8a>0
。。。好巧呀，解出来还是0<a<2

Answer 3

追答

追问

是f（x）＝x啊