Question

如图，在直角三角形ABC中，角ACB=90度，D是AB边上的一点，以BD为直径的圆O与边AC相切于点E

如图，在直角三角形ABC中，角ACB=90度，D是AB边上的一点，以BD为直径的圆O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F。
（1）BD与BF是否相等？请说明理由；
（2）若BC=6，AD=4，求圆O的面积。

Answer 1

（1）BD=BF
连接OE。
因为AE是圆O的切线。又，角ACB=90度。所以，OE平行于BF
又，BD为圆O直径。所以OE=OD=1/2BD。又，OE平行于BF。所以，OE为三角形BDF的一条中位线。所以OE=1/2BF。又OE=1/2BD。所以，BD=BF
（2）设圆O半径为r。圆O的面积为S所以，BD=2r，OE=OD=r。所以AB=2r+4，AO=r+4
又，OE平行于BC。所以AO：AB=OE：BC。
即， （r+4）：（2r+4）=r：6
所以， （2r+4）r=6（r+4）
解，得 r=4或r=-3
又，r为半径，所以，r=4
所以，S=π（r的平方）=16π
所以，圆O的面积为16π。

Answer 2

1. 连接BE，∵AC是切线，所以∠CEF=∠AED=∠ABE，
∴∠F=∠BDE，所以BD=BF
2. 连接OE，设半径为R，
△AOE∽△ABC，得OE/BC=AO/AB
即R/6=R+4/2R+4，得R=4，∴S=16π

Answer 3

连接BE
∠BEd=90°
∠DBE+∠BDF==90°
∠DEF=∠CEF=∠DBE
∠CEF+∠F=90°
∠F=∠∠BDF
BD =BF
设直径为r，过E做EM⊥BD与M
BD=BF=r，
BD=BF，BE⊥DF
BE平分∠DBF
EM=EC，BM=BC=6
AM=r+4-6=r-2
AE²=4（4+r）
在△BEF中，△BCE∽△ECF
EF²=BC×CF=6×（r-6）
在△AME中
AE²=EM²+AM²
4（4+r）=6（r-6）+（r-2）²
r²+6r-16=0
r=2
半径=1，面积=π