Question

已知RtABC中 ∠ACB＝90°.AC＝BC,∠MCN＝45° ①如图1当M,N在AB上时

已知RtABC中 ∠ACB＝90°.AC＝BC,∠MCN＝45°
①如图1当M,N在AB上时，求证：MC²＝AM²＋BN²
②如图2将MCN绕点C旋转，当M在BA的延长线上时，上述结论是否成立？请说明理由

Answer 1

1)证明:作∠BCD=∠ACM,并且CD=CM,则:∠BCD+∠BCM=∠ACM+∠BCM=90°.

又AC=CB,则: ΔBCD≌ΔACM(SAS),

∴BD=AM;∠CBD=∠A=45°.

∠MCN=45°,∠MCD=90°,则:∠DCN=∠MCN=45°;

又CN=CN.  则⊿MCN≌ΔDCN,  DN=MN;

∵∠NDB=∠CBD+∠ABC=90°.

∴DN2=DB2+BN2,即:MN2=AM2+BN2.

(2)当点M在BA延长线上时,(1)中的结论还成立.

证明:作∠BCD=∠ACM,使CD=CM,则:∠ACD+∠ACM=∠BCD+∠ACD=90°.

又AC=CB,则: ΔBCD≌ΔACM(SAS)     ∴BD=AM;

∠CBD=∠CAM=135°,∠CBA=45°，∴∠DBN=90°;

∵∠MCN=45°,∠MCD=90°,则:∠DCN=∠MCN=45°; CN=CN；

则ΔMCN≌ΔDCN,  ∴DN=MN;

∵∠DBN=90°.

∴DN2=DB2+BN2, 即: MN2=AM2+BN2

Answer 2

证：
将△ACN绕C点逆时针旋转90°成为△BCD,连接DM，
△BCD全等△ACN,△CDM≌△MCN,
BD=AN,DM=MN,∠ABD+∠CBM=90°
BD²+BM²=DM²
即MN²=AN²+BM²

追问

那第二小题嘞，怎么做哦？？？