Question

100以内与77互质的所有数之和（要过程）

Answer 1

此题先考虑与77不互质的数有哪些，把这些去掉，就是与77互质的数了。
与77不互质的数，应该是7的倍数或者11的倍数，包括：
7、14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98；
11、22、33、44、55、66、77、88、99。
以上，7的倍数一行的总和=735
11的倍数的总和=495
因为77被计算了两次，以上不互质的数总和=735+495-77=1153
从1到100，加起来总和是5050，所以与77互质的数的和=5050-1153=3897

追问

可是答案是1959

追答

我觉得答案错了吧，至少100以内大多数偶数都跟77互质，这些偶数的总和已经是1938了。你说的是不是100以内与77互质的奇数的和呀？

追问

哦，对不起，打错了，是奇数

追答

对，奇数的总和加起来就是1959，
先把1到99的奇数加起来，和是2500，
再把上面跟77不互质的奇数加起来，是541
所以跟77互质的奇数的和就是2500-541=1959

追问

虽然我还是听不太懂，不过也要谢谢你

Answer 2

[解]设A为100以内所有奇数之和，B为100以内与77有非1的公约数的全体奇数之和， X为100以内与77互质的所有奇数之和，因为任一自然数，要么与77互质，要么与77有非1的公约数，所以
X＝A－B （1）
A＝1+3+5+7+……+99＝1/2×50×100＝2500（2）
77＝7×11（3）
＝7/2×7×14=343 （4）
100以内有约数7的奇数之和为
7×（1＋3+5+9+11＋13）
100以内有约数11的奇数之和为
11×（1+3+5+7+9）＝11/2×5×10＝275
所以 B=343＋275-77＝541 （6）
（6）中减去77是因为在（4）和（5）中都计算过77这一项，最后
X＝2500-541＝1959
[答]和为1959。

Answer 3

在100之内与77互质的所有奇数之和
=在100之内所有奇数之和-在100之内不与77互质的所有奇数之和
∵77=7*11
∴不与77互质的奇数为7或11的倍数（且为奇数）
满足条件的7的倍数为：
7,21,35,49,63,77,91
满足条件的11的倍数为：
11,33,55,77,99
∴在100之内与77互质的所有奇数之和
=在100之内所有奇数之和-在100之内不与77互质的所有奇数之和
=(1+3+5+..+99)-(7+21+35+49+63+77+91)-(11+33+55+77+99)+77
=(1+99)*50/2-(7+91)*7/2-(11+99)*5/2+77
=2500-343-275+77
=1959