Question

函数在闭区间上单调有界就一定连续吗

Answer 1

函数在闭区间上单调有界不一定连续，例如函数y=[x] ，但是单调有界函数在闭区间一定有有限个或者可数个跳跃间断点。

自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

单调性：

设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的。

如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

Answer 2

否。
单调、有界与连续没有必然联系。
但是，如果初等函数在闭区间上单调，那么它在闭区间上有界，连续。
因为初等函数在定义域的任意区间上是连续的。这是千真万确的！

Answer 3

不一定连续。比如y=[x]
但是单调有界函数在闭区间一定有有限个或者可数个跳跃间断点。
也就是说它可以是连续函数，也可以是分段函数（每个分段均连续），但不会是离散点函数。

Answer 4

　　肯定是错的。例如函数
　　　f(x) = x-1，-1≤x<0，
　　　 　 = x+1，0≤x≤1，
满足你的条件，但在 x=0 不连续。

Answer 5

不一定，没有必然的联系