Question

高三数学解析几何

平面直角坐标系XOY中，椭圆C：x方/a方+y方/b方=1（a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点（异于右准线与X轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为2/3，点M的横坐标为9/2设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率K2，求k1k2的取值范围

Answer 1

解:设直线AB:y=kx b,而k=tan45°=1,即直线AB:y=x b.
联立直线方程和抛物线方程解方程组得点A,B的坐标,设A(x1,y1),B(x2,y2).
由抛物线:Y^2=4x,得:x=y^2/4.......(1)
将(1)代入直线方程得:y=y^2/4 b,即:y^2-4y 4b=0
由韦达定理:y1 y2=4, y1y2=4b...........(2)
由(1)(2)得:x1 x2=4-2b, x1x2=b^2..........(3)
∵OA⊥OB, ∴OA与OB的斜率之积等于-1,
而OA的斜率=y1/x1, OB的斜率=y2/x2, ∴y1y2/(x1x2)=-1
即:4b/b^2=-1,∴b=-4, 直线AB:y=x-4
联立抛物线方程:Y^2=4x和直线方程:y=x-4,解得:A(6 2√5,2 2√5), B(6-2√5,2-2√5),
∴三角形OAB的面积=OA×OB/2=8√5

Answer 2

解：（1）由已知，得ca＝23a2c＝92（2分）
解得a＝3c＝2.∴a2＝9b2＝5.（4分）
∴椭圆C的标准方程为x29＋y25＝1；（6分）
（2）设点P（x1，y1）（-2＜x1＜3），
点M(92，y2)，∵点F、P、M三点共线，x1≠-2，
∴y1x1＋2＝y2132，y2＝13y12(x1＋2)，∴点M(92，13y12(x1＋2))．（8分）
∵k1＝y1x1�6�13，k2＝13y13(x1＋2)，
∴k1�6�1k2=y1x1�6�13×13y13(x1＋2)=13y123(x1＋2)(x1�6�13)．（10分）
∵点P在椭圆C上，∴x129＋y125＝1，∴y12＝�6�159(x12�6�19)．
∴k1�6�1k2=13×(�6�159)(x12�6�19)3(x1＋2)(x1�6�13)=�6�16527×x1＋3x1＋2=�6�16527×(1＋1x1＋2)．（12分）
∵-2＜x1＜3，∴k1�6�1k2＜�6�1269．∴k1�6�1k2的取值范围是(�6�1∞，�6�1269)．（14分）

Answer 3

解：（1）由已知，得ca＝23a2c＝92（2分）
解得a＝3c＝2.∴a2＝9b2＝5.（4分）
∴椭圆C的标准方程为x29＋y25＝1；（6分）
（2）设点P（x1，y1）（-2＜x1＜3），
点M(92，y2)，∵点F、P、M三点共线，x1≠-2，
∴y1x1＋2＝y2132，y2＝13y12(x1＋2)，∴点M(92，13y12(x1＋2))．（8分）
∵k1＝y1x1�6�13，k2＝13y13(x1＋2)，
∴k1�6�1k2=y1x1�6�13×13y13(x1＋2)=13y123(x1＋2)(x1�6�13)．